向量空间

复数与数域

复数定义

• 复数（Complex Number）：一个复数是一个有序对(a,b)，其中a,b\in \mathbb R，写作a+bi
• i被定义为-1的平方根，记所有复数构成的集合为\mathbb C=\{a+bi : a,b\in\mathbb R\}
• 定义\mathbb C上加法和乘法如下：
  • (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
  • (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
  • a,b,c,d\in\mathbb R
• 定义实数集\mathbb R为复数集的子集\mathbb R\subset\mathbb C
  • 实数a\in\mathbb R可写作a+0i\in\mathbb C
  • 虚数bi可写作0+bi\in\mathbb C
  • i^2=-1

复数性质与运算

• 复数的性质：复数的性质通常对加法和乘法均满足

  • 交换性：\forall\alpha, \beta\in\mathbb C，有\alpha+\beta=\beta+\alpha和\alpha\beta=\beta\alpha
  • 结合性：\forall\alpha, \beta, \lambda\in\mathbb C，有(\alpha+\beta) + \lambda =\alpha + (\beta+\lambda)和(\alpha\beta)\lambda=\alpha(\beta\lambda)
  • 单位元（Identities）
    • 加法单位元为0，\forall \lambda\in\mathbb C，有\lambda+0=\lambda
    • 乘法单位元为1，\forall \lambda\in\mathbb C，有\lambda1=\lambda
  • 逆元（Inverse）：
    • 加法逆元：\forall a\in\mathbb C,\exist!\beta\in\mathbb C，使得\alpha+\beta=0
    • 乘法逆元：\forall a\in\mathbb C且\alpha\ne0,\exist!\beta\in\mathbb C，使得\alpha\beta=1
  • 分配律：\forall \lambda,\alpha,\beta\in\mathbb C，有\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta

• 减法

  • \alpha,\beta\in\mathbb C，令-\alpha表示\alpha的加法逆元，则-\alpha是使得\alpha+(-\alpha)=0的唯一复数
  • 定义\mathbb C上的减法为\beta-\alpha=\beta+(-\alpha)

• 除法

  • \alpha,\beta\in\mathbb C,\alpha\neq0，令1/\alpha表示\alpha的乘法逆元，则1/\alpha是使得\alpha(1/\alpha)=1的唯一复数

  • 定义\mathbb C上的除法为\beta/\alpha=\beta(1/\alpha)

数域、组、长度

• 实数集\mathbb R和复数集\mathbb C均为域（Field）的例子，采用\mathbb F表示\mathbb R或\mathbb C

  • \mathbb F内的元素称为标量（Scalar）

  • 对于\forall \alpha\in\mathbb F,定义\alpha^m = \underbrace{\alpha\cdots\cdots \alpha}_{m个}为m个\alpha的乘积

  • \forall \alpha, \beta \in \mathbb F及m,n\in \mathbb N^{+}，有(a^m)^n=a^{mn}和(\alpha\beta)^m=\alpha^m\beta^m

• 组(list)

  • 设n为非负整数，长度为n的组是n个有序元素，用逗号隔开病两端用括弧括起来

  • 组内元素可为数、其他组、或抽象元素

  • 长度为n的组具有形式：(x_1,\cdots, x_n)

  • 两个组相等当且仅当（iff）组长度相等，所含元素相同并且元素顺序相同

• 常见组以及性质

  • 集合\mathbb R^2由全体有序二元实数对构成：\mathbb R^2=\{(x,y) : x,y\in\mathbb R\}

  • 集合\mathbb R^3由全体有序三元实数组构成：\mathbb R^3=\{(x,y,z) : x,y,z\in\mathbb R\}

  • 长度为2的组是有序对（pair），长度为3的组是三元祖（triple）

  • 长度为n的组为n-元祖（n-tuple）

• 组的长度

  • 每个组的长度均为有限的，该长度为非负整数

  • 长度为0的组形如(\:)，使某些定理无奇异

• 组和集合的不同

  • 组内元素是有顺序的并且允许重复

  • 集合元素是无顺序的并且不许重复

高维域

• \mathbb F^n

  • \mathbb F^n是\mathbb F中元素组成的长度为n的组的集合，抽象表示\mathbb R^n或\mathbb C^n
  • \mathbb F^n=\{(x_1,\cdots,x_n) : x_j\in\mathbb F,j=1,\cdots,n\}
  • 对于(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb F^n以及j\in\{1,\cdots,n\}，称x_j是(x_1,\cdots,x_n)的第j​个坐标
  • (x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb F^n表示一个始于原点终于(x_1,\cdots,x_n)的向量

• \mathbb 0表示长度为n且所有坐标均为0的组：\mathbb 0=(0,\cdots,0)​

• 数域

  • 一个域是一个集合，至少包含有两个分别称为\mathbb 0和\mathbb 1的不同元素，且包含加法和乘法运算
  • 域的运算满足交换性、结合性、分配性，并且有单位元、逆元

• \mathbb F^n中的加法

  • \mathbb F^n中的加法定义为对应坐标相加：(x_1,\cdots,x_n) + (y_1,\cdots,y_n)=(x_1+y_1,\cdots,x_n+y_n)
  • 加法具备交换性：\forall x,y\in\mathbb F^n,x+y=y+x

• \mathbb F^n中的加法逆元

  • x\in\mathbb F^n，x的加法逆元（-x）就是满足x+(-x)=\mathbb 0的向量-x\in\mathbb F^n
  • 若x=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb F^n，则他的加法逆元为-x=(-x_1,\cdots,-x_n)\in\mathbb F^n

• \mathbb F^n中的标量乘法

  • 一个数\lambda与\mathbb F^n中的一个向量的乘积为用\lambda乘以向量的每个坐标
  • \lambda(x_1,\cdots,x_n)=(\lambda x_1, \cdots, \lambda x_n)，其中\lambda\in\mathbb F, (x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb F^n

课后题选作（1.A）

求i的两个不同的平方根

已知欧拉公式e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta，则取\theta=\pi可得：e^{i\pi}+1=0

则可知，e^{i\frac{\pi}{2}}=i，进而得到i的平方根如下：

\begin{aligned} e^{i\frac{1}{2}\pi}&=e^{i\frac{1}{4}\pi}e^{i\frac{1}{4}\pi}=i\\ e^{i\frac{1}{2}\pi}&=e^{i\frac{1}{2}\pi+i2\pi}=e^{i\frac{5}{4}\pi}e^{i\frac{5}{4}\pi}=i\\\\ e^{i\frac{1}{4}\pi}&=\cos\frac{1}{4}\pi+i\sin\frac{1}{4}\pi=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\\ e^{i\frac{5}{4}\pi}&=\cos\frac{5}{4}\pi+i\sin\frac{5}{4}\pi=\frac{-\sqrt{2}}{2}(1+i) \end{aligned}

证明对每个\alpha\in\mathbb C都存在唯一的\beta\in\mathbb C使得\alpha+\beta=0

设\alpha=x_1+y_1i，\beta=x_2+y_2i，则有：\alpha+\beta=x_1+y_1i+x_2+y_2i=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i=0

即为x_2=-x_1且y_2=-y_1，则唯一存在\beta=-x_1-y_1i使得\alpha+\beta=0

证明对每个\alpha\in\mathbb C(\alpha\neq 0)都存在唯一的\beta\in\mathbb C使得\alpha\beta=1

\beta=1\cdot\beta=(\frac{1}{\alpha}\cdot\alpha)\cdot\beta=\frac{1}{\alpha}\cdot(\alpha\cdot\beta)=\frac{1}{\alpha}\cdot 1=\frac{1}{\alpha}

向量与向量空间

向量空间的定义

• 向量空间定义为带有加法和标量乘法的集合V，使得

  • 加法具有交换性和结合性，并且有单位元和加法逆元
  • 标量乘法具有结合性，数1与向量做标量乘法不改变向量

• 加法与标量乘法

  • 集合V上的加法是一个函数，将每一对u,v\in V都对应到V的一个元素u+v
  • 集合V上的标量乘法是一个函数，将任意\lambda\in\mathbb F和v\in V都对应到一个元素\lambda v\in V

• 向量空间（Vector Space）：向量空间就是带有加法和标量乘法的集合V，满足如下性质：

  • 交换性（commutativity）：\forall u,v\in V\quad s.t.\quad u+v=v+u
  • 结合性（associativity）：\forall u,v,w\in V, a,b\in\mathbb F有(u+v)+w=u+(v+w)和(ab)v=a(bv)
  • 单位元（identity）
    • 加法单位元（additive identity）：\forall v\in V, \exist 0\in V,\quad s.t.\quad v+0=v​
    • 乘法单位元（multiplicative identity）：\forall v\in V有1v=v
  • 加法逆元（additive inverse）：\forall v\in V, \exist w\in V,\quad s.t.\quad v+w=0
  • 分配性（distributive properties）：\forall a,b\in\mathbb F,u,v\in V,\quad s.t.\quad a(u+v)=au+av,\ (a+b)v=av+bv

常用向量空间

• 向量空间内的元素称为向量（vector）或点(point)

• 向量空间的标量乘法依赖于\mathbb F，故而确切指明说**V是\mathbb F上的向量空间**

  • 实向量空间（real vector space）：\mathbb R上的向量空间称为实向量空间
  • 复向量空间（complex vector space）：\mathbb C上的向量空间称为复向量空间

• \mathbb F^{\infty}为\mathbb F中元素的所有无穷序列构成的集合

  • \mathbb F^{\infty}是\mathbb F上的向量空间
  • \mathbb F^{\infty}=\{(x_1,x_2,\cdots) : x_j\in\mathbb F,j=1,2,\cdots\}

• \mathbb F^{S}：S是一个集合，则\mathbb F^{S}表示从S到\mathbb F的所有函数的集合

  • 加法：\forall f,g\in\mathbb F^S,x\in S，规定和f+g\in\mathbb F^S是函数(f+g)(x)=f(x)+g(x)
  • 标量乘法：\forall \lambda\in\mathbb F,f\in\mathbb F^S,x\in S，规定乘积\lambda f\in\mathbb F^S是函数(\lambda f)(x)\lambda f(x)
  • 例：S=[0,1],\mathbb F=\mathbb R，则\mathbb F^S=\mathbb R^{[0, 1]}表示区间[0, 1]上所有实值函数的集合

• 若S是非空集合，则\mathbb F^S是\mathbb F上的向量空间

  • 加法单位元：0:S\to\mathbb F，表示为\forall x\in S， 0(x)=0
  • 加法逆元：\forall f\in\mathbb F^S其加法逆元为-f:S\to\mathbb F，表示为\forall x\in S,(-f)(x)=-f(x)
  • \mathbb F^n和\mathbb F^\infty均为\mathbb F^S的特例，S分别为\{1,2,\cdots,n\}和\{1,2,\cdots\}

向量空间基本属性

• 加法单位元唯一

  • 向量空间具有唯一的加法单位元
  • 若\mathbb 0和\mathbb 0^{'}均为向量空间V的加法单位元，则\mathbb 0^{'}=\mathbb 0^{'}+\mathbb 0=\mathbb 0+\mathbb 0^{'}=\mathbb 0，表明唯一性
    1. \mathbb 0是加法单位元，则\mathbb 0^{'}=\mathbb 0^{'}+\mathbb 0
    2. 加法具有交换性，则\mathbb 0^{'}+\mathbb 0=\mathbb 0+\mathbb 0^{'}
    3. \mathbb 0^{'}是加法单位元，则\mathbb 0+\mathbb 0^{'}=\mathbb 0

• 加法逆元唯一

  • 向量空间内的每个元素都有唯一的加法逆元
  • 设v\in V的加法逆元为w和w^{'}，则w=w+\mathbb 0=w+(v+w^{'})=(w+v)+w^{'}=\mathbb 0+w^{'}=w^{'}
  • 设v,w\in V，则有
    • -v表示为v的加法逆元
    • w-v为w+(-v)

• 数0乘以向量：\forall v\in V,0v=\mathbb 0​

  • 标量0和任意向量的乘积都等于零向量
  • 0 v=(0 + 0)v=0 v + 0 v
  • 两边减去一个0 v得到0 v= \mathbb 0

• 数乘以向量\mathbb 0：\forall a\in\mathbb F，a\mathbb 0=\mathbb 0

  • 任意向量与零向量的乘积都等于零向量
  • a\mathbb 0=a(\mathbb 0 + \mathbb 0)=a\mathbb 0 + a\mathbb 0
  • 两边减去一个a\mathbb 0得到a\mathbb 0= \mathbb 0

• 数-1乘以向量：\forall v\in V,(-1)v=-v

  • 标量-1和V内元素相乘，得到该元素的加法逆元
  • v+(-1)v=1v+(-1)v=(1+(-1))v=0v=\mathbb 0

课后题选作（1.B）

设a\in\mathbb F,v\in V,av=\mathbb 0，证明a=0或者v=\mathbb 0​​

1. 若a=0，则av=0\cdot v=\mathbb 0
2. 若a\neq 0，则v=1\cdot v=(a^{-1}a)\cdot v=a^{-1}(av)=a^{-1}\cdot \mathbb 0 = \mathbb 0

设v,w\in V，说明为什么有唯一的x\in V使得v+3x=w

1. 取x=\frac 1 3(w-v)，则有v+3x=v+w-v=w，存在性
2. 设x^{'}\in V使得v+3x^{'}=w，则有3(x-x^{'})=3x - 3x^{'}=(w-v) - (w-v)=\mathbb 0，即x=x^{'}，唯一性

• 证明在向量空间的定义中，关于加法逆元的那个条件可替换为：对所有v\in V都有0v=\mathbb 0

• 这里左端的0是数0，右边的\mathbb 0是V的加法单位元。

• 在一个定义中，“某个条件可替换为另一个条件”是指吧这个条件换成另一个条件后所定义的是同一类对象。

• 证明：v+(-1)\cdot v=(1+(-1))\cdot v=0v=\mathbb 0，即为v存在一个加法逆元(-1)\cdot v

• 设\infty和-\infty表示两个不同的对象，它们都不属于\mathbb R。定义\mathbb R\cup\{\infty,-\infty\}上的加法和乘法如通常实数运算法则定义，并对于t\in\mathbb R有：
• t\infty=\begin{cases}-\infty&\text{if}t<0,\\0&\text{if}t=0,\\\infty&\text{if}t>0,\end{cases}\quad t(-\infty)=\begin{cases}\infty&\text{if}t<0,\\0&\text{if}t=0,\\-\infty&\text{if}t>0,\end{cases}
• \begin{aligned} t+\infty & =\infty+t=\infty+\infty=\infty, \\ t+(-\infty)& =(-\infty)+t=(-\infty)+(-\infty)=-\infty, \\ \infty+(-\infty)& =(-\infty)+\infty=0. \end{aligned}
• 不满足
• \infty=(2+(-1))\infty=2\infty+(-1)\infty=\infty+(-\infty)=0
• 则有t=0+t=\infty+t=\infty=0
• 不满足零向量唯一

子空间

子空间的定义与判据

• 子空间（subspace）

  • 如果V的子集U（采用与V相同的加法和标量乘法）也是向量空间，则称U为V的子空间
  • 子空间也被称为线性子空间

• 子空间的条件（判据）：V的子集U是V的子空间当且仅当U满足如下三个条件

  • 加法单位元：\mathbb 0\in U
  • 加法封闭性：\forall u,w\in U,\quad s.t.\quad u+v\in U
  • 标量乘法封闭性：\forall a\in\mathbb F,u\in U,\quad s.t.\quad au\in U

• 常用子空间

  • \{\mathbb 0\}是V的最小子空间
  • V是V的最大子空间
  • \mathbb R^2的子空间仅为\{\mathbb 0\}、\mathbb R^2以及\mathbb R^2中所有过原点的直线
  • \mathbb R^3的子空间仅为\{\mathbb 0\}、\mathbb R^3、\mathbb R^3中所有过原点的直线以及\mathbb R^3中所有过原点的平面

• 空集不是子空间

  • 子空间是向量空间，必须包含加法单位元
  • 空集不包含任何元素，不是向量空间

子空间的和与直和

• 子空间的和：令V_1,\cdots,V_m是V的子空间

  • V_1,\cdots,V_m的和定义为V_1,\cdots,V_m中元素所有可能的和的集合
  • V_{1}+\cdots+V_{m}=\{v_{1}+\cdots+v_{m}:v_{1}\in V_{1},...,v_{m}\in V_{m}\}

• 子空间的和是包含这些子空间的最小子空间

  • V_1,\cdots,V_m是V的包含V_1,\cdots,V_m的最小子空间

• 直和\oplus（direct sum）：令V_1,\cdots,V_m是V的子空间

  • 若V_1+\cdots+V_m中的每个元素都可以唯一地表示成v_1+\cdots+v_m，其中v_j\in V_j，则称为直和
  • 若V_1+\cdots+V_m是直和，则表示为V_1\oplus\cdots\oplus V_m

• 若V_k是\mathbb F^n中除第k列外均为0的向量构成的子空间

  • 如V_2=\{(0,x,0,\cdots,0)\in\mathbb F^n : x\in\mathbb F\}
  • \mathbb F^n=V_1\oplus\cdots\oplus V_n

• 和空间中的每个向量都能唯一地表示成一个适当的和

• 直和的每个元素都可以唯一地表示成这些给定的子空间中元素的和

• 直和的条件：令V_1,\cdots,V_m是V的子空间

  • 当且仅当\mathbb 0表示为v_1+\cdots+v_m,v_k\in V_k的唯一方式为\forall v_k=0时，V_1+\cdots+V_m是直和
  • 设U和W是V的两个子空间，当且仅当（iff）U\cap W=\{0\}时U\oplus W

课后题选作（1.C）

证明区间(-4, 4)上满足f^{'}(-1)=3f(2)的可微的实值函数f构成的集合是\mathbb R^{(-4,4)}的子空间

• 记区间(-4, 4)上满足f^{'}(-1)=3f(2)的可微的实值函数f构成的集合为V
• 加法单位元：易得f\equiv 0被包含在V中
• 加法封闭性：令f,g\in V，验证f+g如下
  • (f+g)'(-1)=f'(-1)+g'(-1)=3f(2)+3g(2)=3(f(2)+g(2))=3(f+g)(2)
  • f+g\in V，满足加法封闭性
• 数乘封闭性：令\lambda\in \mathbb R,f\in V，验证\lambda f如下
  • (\lambda f)'(-1)=\lambda f'(-1)=\lambda (3f)(2)=3(\lambda f)(2)
  • \lambda f\in V，满足乘法封闭性
• V是\mathbb R^{(-4,4)}的子空间

设b\in\mathbb R，证明区间[0,1]上满足\int_0^1f(x)\mathrm dx=b的实值连续函数f构成的集合是\mathbb R^{[0,1]}的子空间当且仅当b=0​

• 记区间[0,1]上满足\int_0^1f(x)dx=b的实值连续函数f构成的集合为V_b
• 若V_b为R^{[0,1]}的子空间，则满足数乘封闭性
  • \forall k\in \mathbb R, b=\int_0^1 kf(x)\mathrm dx=k\int_0^1 f(x)\mathrm dx=kb
  • \exist ! b=0,\quad s.t.\quad b=kb
• 若b=0，证明V_0为\mathbb R^{[0,1]}的子空间
  • 加法单位元：易得f\equiv 0被包含在V_0中
  • 加法封闭性：令f,g\in V_0，\int_0^1 (f+g)=\int_0^1f+\int_0^1g=0+0=0
  • 数乘封闭性：令\lambda\in\mathbb R，\int_0^1(\lambda f)=\lambda\int_0^1f=\lambda\cdot 0 =0
  • V_0是\mathbb R^{[0,1]}的子空间

\mathbb R^2是复向量空间\mathbb C^2的子空间吗？

• 不是，满足加法单位元和加法封闭性规则
• 不满足数乘封闭性规则，\mathbb C^2是定义在\mathbb C上的向量空间
  • \forall (a+bi)\in \mathbb C, b\ne 0不满足数乘