有限维向量空间

张成空间与线性无关

符合说明

  • 延用上一章定义，\mathbb F表示\R或\mathbb C
  • V表示定义在\mathbb F上的向量空间
  • 向量组（list of vectors）
    • 用圆括号将一组数据括起表示数组，如(1,2,3)\in \R^3
    • 表示向量组时为避免奇异，不用括号，如(1,2,3),(4,5,6)表示\R^3中一个长度为2的向量组

线性组合与张成空间

  • 线性组合（linear combination）：

    • V中的一组向量v_1,\cdots,v_m的线性组合是指形如a_1v_1+\cdots+a_mv_m的向量
    • a_1,\cdots,a_m\in\mathbb F

  • 张成空间（span）

    • V​中一组向量v_1,\cdots,v_m​的所有线性组合所构成的集合称为v_1,\cdots,v_m​的张成空间，记作\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)​
    • \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)=\{a_1v_1+\cdots+a_mv_m : a_1,\cdots,a_m\in\mathbb F\}
    • 空向量组(\ )的张成空间定义为\{0\}
    • 张成空间也称为线性张成空间（linear span）

  • 张成空间是包含这组向量的最小子空间

    • V中一组向量的张成空间是包含这组向量的最小子空间
    • 先证明\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)是V的子空间
      • 加法单位元：0=0v_1+\cdots+0v_m\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)
      • 加法封闭性：(a_{1}v_{1}+\cdots+a_{m}v_{m})+(c_{1}v_{1}+\cdots+c_{m}v_{m})=(a_{1}+c_{1})v_{1}+\cdots+(a_{m}+c_{m})v_{m}
      • 数乘封闭性：\lambda(a_{1}v_{1}+\cdots+a_{m}v_{m})=\lambda a_{1}v_{1}+\cdots+\lambda a_{m}v_{m}
    • 再证明最小子空间
      • \forall v_j均为v_1,\cdots, v_m的线性组合，故而\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)包含每个v_j
      • 子空间具有加法、数乘封闭性，V中包含所有v_j的子空间必定包含\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)

  • 张成（spans）：若\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)等于V，则称v_1,\cdots v_m张成V

向量空间与多项式

  • 有限维向量空间（finite-dimensional vector space）

    • 如果一个向量空间可以由该空间中的某个向量组张成，则称这个向量空间是有限维的

  • 无限维向量空间（infinite-dimensional vector space）

    • 一个向量空间不是有限维的，则称为无限维的

  • 多项式（polynomial）

    • 对于函数p:\mathbb F\to \mathbb F，若\exist a_0,\cdots,a_m\in\mathbb F,\quad s.t.\quad \forall z\in\mathbb F\quad p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots+a_{m}z^{m}
    • 称p为系数属于\mathbb F的多项式，一个多项式的系数由该多项式唯一确定

  • \mathcal{P}(\mathbb F)

    • \mathcal P(\mathbb F)是系数属于\mathbb F的全体多项式所组成的集合
    • 在通常的多项式加法、数乘下，\mathcal P(\mathbb F)是\mathbb F上的向量空间
    • \mathcal P(\mathbb F)是\mathbb F^{\mathbb F}（从\mathbb F到\mathbb F的全体函数构成的向量空间）的子空间

  • 多项式的次数（degree of a polynomial），\mathrm{deg}\ p

    • 对于多项式p\in\mathcal P(\mathbb F)，若\exist a_0,\cdots,a_m\in\mathbb F,a_m\ne 0\quad s.t.\quad \forall z\in\mathbb F\quad p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{m}z^{m}
    • 则称p的次数为m，记为\mathrm {deg}\ p=m
    • 规定恒等于0的多项式的次数为-\infty

  • \mathcal P_m(\mathbb F)

    • 对于非负整数m，用\mathcal P_m(\mathbb F)表示系数在\mathbb F中且次数不超过m​的所有多项式构成的集合
    • \mathcal P_m(\mathbb F)=\mathrm{span}(1,z,\cdots,z^m)，含m+1项，z^k表示函数
    • 约定-\infty < m，则恒等于0的多项式属于\mathcal P_m(\mathbb F)
    • 对于每个非负整数m，\mathcal P_m(\mathbb F)是有限维向量空间

线性无关

线性相关性

  • 线性无关（linearly independent）

    • 如果使得a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0的a_1,\cdots,a_m\in\mathbb F只有a_1=\cdots=a_m=0则称v_1,\cdots v_m线性无关
    • 规定空组(\ )是线性无关的
    • V中两个向量构成的向量组线性无关，当且仅当每个向量都不能写为另一个想看的标量倍
    • V中一个向量构成的向量组线性无关，当且仅当这个向量不为零向量\mathbb 0
    • 一个线性无关组中去掉一些向量后，余下的向量构成的向量组仍线性无关

  • 线性相关（linearly dependent）

    • V中的一组向量如果不是线性无关的，则称为线性相关
    • V中一组向量v_1,\cdots, v_m线性相关，当且仅当存在不全为零的a_1, \cdots, a_m\in\mathbb F使得a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0
    • 若V中的一组向量中的某个向量是其余向量的线性组合，则这个向量组线性相关
    • 包含\mathbb 0​向量的向量组线性相关

引理、长度

  • 线性相关性引理

    • 设v_1,\cdots, v_m为V中的一个线性相关的向量组，则有k\in\{1,2,\cdots,m\}使得v_k\in\mathrm{span}(v_1,...,v_{k-1})​
    • 若从v_1,\cdots,v_m中去掉v_k项，剩下组的张成空间等于\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)​

  • 线性无关组的长度一定不会大于张成组的长度

    • 在有限维向量空间中，线性无关组的长度小于等于向量空间的每一个张成空间的长度
  • 证明：设u_1,\cdots,u_m在V中线性无关，并设w_1,\cdots,w_n张成V，证明m\le n
  • 第一步
    • 设B表示V的张成组w_1,\cdots,w_n，则在该组上再添加任何向量都会得到一个线性相关组
    • 特别地，组u_1,w_1,\cdots,w_n是线性相关的
    • 由引理知，可去除某个w使得由u_1和余下的w构成的新组B（长为n）张成V
  • 第k步，k=2,\cdots, m
    • 第k-1步中的组B张成V​，则在该组上再添加任何向量都会得到一个线性相关组
    • 特别地，添加u_k在u_1,\cdots,u_{k-1}后，是线性相关的（长度为n+1）
    • 引理知，可除去某个向量使得剩下组张成空间不变
    • 已知u_1,\cdots,u_k是线性无关的，故而除去的是一个w
  • m步迭代后，添加所有的u结束迭代
    • 每步在B中添加了某个u并除去某个w
    • 因此w的个数n至少等于线性无关组的个数m
  • 有限维子空间：有限维向量空间的子空间都是有限维的

课后题选作（2.A）

设v_1,\cdots v_m在V中线性无关，并设w\in V，证明：v_1,\cdots,v_m,w线性无关当且仅当w\notin \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)

  • 命题等价于证明v_1,\cdots,v_m,w线性相关当且仅当w\in \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)
  • 若v_1,\cdots,v_m,w线性相关
    • 则\exist a_1,\cdots, a_m,b\in\mathbb F不全为零，使得a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m+bw=0
    • 若b=0，a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m+bw=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m=0，此时a_i\equiv 0，则b\ne 0
    • w=-\frac{1}{b}(a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m)\in \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)
  • 若w\in \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)
    • 则存在a_1,\cdots,a_m\in\mathbb F​使得
    • w=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m\Longrightarrow a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m-w=0
    • 则v_1,\cdots,v_m,w线性相关

基与维数

基

  • 基（basis）
    • 若V中的一个向量组既线性无关又张成V，则称为V的基
    • \mathbb F^n的标准基为(1,0,\cdots,0),(0,1,\cdots,0),\cdots,(0,0,\cdots,1)
    • \mathcal P_m(\mathbb F)的基为1, z,\cdots,z^m
  • 基的判定准则
    • V中的向量组v_1,\cdots,v_n是v的基当且仅当每个v\in V都能唯一存在写为如下形式
    • v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n，其中a_1,\cdots,a_n\in\mathbb F
  • 证明：设v_1,\cdots,v_n是V的基，并设v\in V
  • 证明唯一性：
    • 已知v_1,\cdots,v_n张成V，则存在a_1,\cdots,a_n\in \mathbb F使得v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n
    • 假设存在c_1,\cdots,c_n\in \mathbb F使得v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n
    • 两式相减，得到0=(a_1-c_1)v_1+\cdots+(a_n-c_n)v_n
    • 因为v_1,\cdots,v_n线性无关，故而a_i=c_i，即唯一存在
  • 证明另一个方面
    • 设每个v\in V可唯一写作v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n
    • 则v_1,\cdots,v_n张成向量空间V，进一步证明线性无关性
    • 已知\mathbb 0\in V可唯一写作\mathbb 0=a_1v_1+\cdots+a_nv_n
    • 则a_i\equiv 0，线性无关
  • 张成组含有基
    • 向量空间的张成组不一定是基，因为它可能不是线性无关的
    • 在向量空间中，每个张成组都可以化简为一个基
    • 任给一个张成组，可以去掉其中的一些向量使得剩余组是线性无关的，并且仍张成这个向量空间
  • 证明
    • 设v_1,\cdots, v_n张成V，从v_1,\cdots,v_n中去掉一些向量使得其余向量构成V的基
    • 用B表示组v_1,\cdots,v_n
  • 第一步
    • 若v_1=0,，则从B中去掉v_1，若v_1\ne 0，则保持B不变
  • 第k步
    • 若v_k\in \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{k-1})，则从B中去掉v_k
    • 若v_k\notin \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{k-1})，则保持B​不变
  • 经过n步程序终止，得到能够张成V的B，其中向量都不包含于它前面诸向量的张成空间
  • 有限维向量空间的基
    • 每个有限维向量空间都有基
    • 在有限维向量空间中，每个线性无关的向量组都可以扩充成向量空间的基
  • 若V是有限维，u_1,\cdots,u_m线性无关
  • 取V的一组基w_1,\cdots,w_n
  • 则u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n张成V
    • 应用上述定理，删除其中部分w后依旧张成V
    • 由于u_1,\cdots,u_w线性无关，则这些u均为被除去

直和子空间

  • V的每个子空间都是V​的直和项
    • 设V是有限维的，U是V的子空间，则存在V的子空间W使得V=U\oplus W
  • V是有限维的，U是V的子空间，则U也是有限维的
    • 取U的一组基为u_1,\cdots,u_m，是V中的一个线性无关组
    • 扩充u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n为向量空间V的一组基
    • 则定义W=\mathrm {span}(w_1,\cdots, w_n)
  • 要证明V=U\oplus W即为正常如下两条
    • V=U+W
    • U\cap W=\{\mathbb 0\}
  • 证明：V=U\oplus W
    • 设v\in V，由于u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n张成V，所以存在a_1,\cdots,a_m,b_1,\cdots,b_n\in\mathbb F使得
    • v=\underbrace{a_1u_1+\cdots+a_mu_m}_u+\underbrace{b_1w_1+\cdots+b_nw_n}_w
    • 即为v=u+w，其中u\in U, w\in W，故而v\in U+W
  • 证明：U\cap W=\{\mathbb 0\}
    • 设v\in U\cap W，则存在a_1,\cdots,a_m,b_1,\cdots,b_n\in\mathbb F使得
    • v=a_{1}u_{1}+\cdots+a_{m}u_{m}=b_{1}w_{1}+\cdots+b_{n}w_{n}
    • 进而得到a_{1}u_{1}+\cdots+a_{m}u_{m}-b_{1}w_{1}-\cdots-b_{n}w_{n}=0
    • 已知u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n线性无关，则a_i\equiv b_j\equiv 0
    • 故而v=\mathbb 0\in U\cap W

维数定义

  • 基的长度不依赖于基的选取
    • 有限维向量空间的任意两个基的长度都相同
  • 设向量空间V的两组基为B_1,B_2
  • B_1在V中线性无关，B_2张成向量空间V
  • B_1的长度小于等于B_2的长度
  • B_2在V中线性无关，B_1张成向量空间V
  • B_2的长度小于等于B_1的长度
  • 由此可知向量空间任意两组基的长度相同

  • 维数（dimension），\dim V

    • 有限维向量空间的任意基的长度称为这个向量空间的维数
    • 若V是有限维的，则V的维数记为\dim V

  • 常见维数

    • \dim \mathbb{F}^n = n，\mathbb{F}^n的标准基长度为n
    • \dim \mathcal P_m(\mathbb F)=m+1，\mathcal P_m(\mathbb F)的基1,z,\cdots,z^m长度为m+1​

  • 子空间的维数：若V是有限维的，U是V的子空间，则$\dim U\le\dim V $

维数与基

  • 线性无关组与基：若V是有限维的，则V中每个长度为\dim V的线性无关向量组都是V​的基
  • 张成组与基：若V是有限维的，则V中每个长度为\dim V的张成组都是V的基

  • 证明1,(x-5)^2,(x-5)^3是\mathcal P_3(\R)的子空间U的一个基，其中U=\{p\in\mathcal{P}_3(\mathbf{R}):p^{\prime}(5)=0\}

  • 显然1,(x-5)^2,(x-5)^3均属于U

  • 首先证明线性无关

    • 设a,b,c\in\R且对任意x\in\R有a+b(x-5)^2+c(x-5)^3=0
    • 由于右侧无x^3项，故而可知左侧c=0
    • 进而在c=0时，右侧无x^2项，则b=0
    • 进而在b=c=0时，右侧为0，则a=0
    • 即证1,(x-5)^2,(x-5)^3线性无关

  • 再证明维数

    • 线性无关，则可知\dim U\ge 3
    • 由于U为子空间，则\dim U\le \dim \mathcal P_3(\R)=4
    • 对于多项式x\in \mathcal P_3(\R)，由于其导数恒定为1，则不属于U
    • U\neq \mathcal P_3(\R)则\dim U< \dim \mathcal P_3(\R)=4
    • \dim U=3

  • 1,(x-5)^2,(x-5)^3线性无关且长度等于维数，故而是U的一组基

  • 和空间的维数
    • 若V_1和V_2是有限维向量空间的两个子空间，则
    • \dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)

集合与向量空间

  • 定义\#S表示集合S​的元素个数
  • 下表比较了有限集合和有限维向量空间相关概念
属性 集合Sets 向量空间Vector Spaces
定义符号 S是一个有限集合 V是有限维向量空间
个数、维数 \#S \dim V
并集、和空间 两个子集的并S_1\cup S_2是S中包含这两个子集的最小子集 两个子空间的和空间V_1+V_2是V中包含这两个子空间的最小子空间
并集元素个数、和空间维数 \#(S_1\cup S_2)=\#S_1+\#S_2-\#(S_1\cap S_2) \dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim (V_1\cup V_2)
交为空、交为零 $#(S_1\cup S_2)=#S_1+#S_2 \iff S_1\cap S_2=\emptyset $ $\dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2\iff V_1\cap V_2={\mathbb 0} $
不交并、直和 S_1\cup\cdots\cup S_m是不交并\iff\#(S_1\cup\cdots\cup S_m)=\#S_1+\cdots+\#S_m V_1+\cdots+V_m是直和\iff\dim (V_1+\cdots+V_m)=\dim V_1+\cdots+\dim V_m

课后题选作（2B、2C）